2010 年考研数学（三） 第 6 题

给出矩阵多项式 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ → 特征值满足同一多项式 ${\lambda }^2+\lambda =0$；再用「实对称可对角化 ⇒ 秩 = 非零特征值个数」定重数。坑：一般矩阵秩未必等于非零特征值个数，本题靠实对称才成立。

本题考查用矩阵方程定特征值 + 实对称必可对角化。 设 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}(\mathbf{x}\ne 0)$，由 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 得 $({\lambda }^2+\lambda )\mathbf{x}=0$，故 ${\lambda }^2+\lambda =0$，即 $\lambda =0$ 或 $\lambda =-1$。

$\mathbf{A}$ 实对称必可对角化，故 $r(\mathbf{A})$ 等于非零特征值的个数。$r(\mathbf{A})=3$ 说明非零特征值有 $3$ 个，它们只能取 $-1$，$0$ 为 $1$ 重。

于是 $\mathbf{A}\sim \mathrm{diag}(-1,-1,-1,0)$，选 D。