2010 年考研数学（三） 第 5 题

「$\mathrm{I}$ 能被 $\mathrm{II}$ 线性表示 + $\mathrm{I}$ 无关」→ 用 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})\le s$ 且 $r(\mathrm{I})=r$ 得 $r\le s$。坑：被表示者（$\mathrm{I}$）无关才能反推个数不超过表示者，$\mathrm{II}$ 的相关/无关推不出 $r,s$ 大小。

本题考查「一组可由另一组线性表示」时两组的秩关系。 核心不等式：若 $\mathrm{I}$ 可由 $\mathrm{II}$ 线性表示，则 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})$。

$\mathrm{II}$ 共 $s$ 个向量，故 $r(\mathrm{II})\le s$。由表示关系 $r(\mathrm{I})\le r(\mathrm{II})\le s$。

若 $\mathrm{I}$ 线性无关，则 $r(\mathrm{I})=r$，于是 $r\le r(\mathrm{II})\le s$，即 $r\le s$，选 A。（B、C、D 均可举反例否定。）