2010 年考研数学（三） 第 4 题

比较 ${\ln }^{k}x$、$x^{\alpha }$、${\mathrm{e}}^{\beta x}$ 的大小 → 直接套「对数 $\ll$ 幂 $\ll$ 指数」，用比值极限为 $0$ 佐证。坑：${\ln }^{10}x$ 的 $10$ 次方、${\mathrm{e}}^{x/10}$ 的 $1/10$ 都不改变层级，指数仍最大、对数仍最小。

本题考查 $x\to +\infty$ 时对数、幂、指数三类无穷大的阶的高低。 一般结论：${\ln }^{k}x\ll x^{\alpha }\ll {\mathrm{e}}^{\beta x}$（$k,\alpha ,\beta >0$），即对数 $\ll$ 幂 $\ll$ 指数。

比较 $f,g$：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\ln }^{10}x}{x}=0$（对数远慢于幂），故充分大时 $f(x)<g(x)$。比较 $g,h$：$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{{\mathrm{e}}^{x/10}}=0$（幂远慢于指数），故 $g(x)<h(x)$。

于是 $f(x)<g(x)<h(x)$，选 C。