2010 年考研数学（三） 第 3 题

复合函数 $f(g(x))$ 在极值点判极大/极小 → 求二阶导，利用 $g^{\prime }(x_0)=0$ 使 ${\phi }^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime }(a)g^{\prime \prime }(x_0)$。坑：$f^{\prime \prime }$ 那项带因子 $g^{\prime }(x_0{)}^2=0$ 被消掉，真正起作用的是 $f^{\prime }(a)$ 与 $g^{\prime \prime }$ 的符号。

本题考查复合函数取极值的判定（一阶导为零、二阶导定号）。 因 $g(x_0)=a$ 是 $g$ 的极值，故 $g^{\prime }(x_0)=0$，且由 $g^{\prime \prime }(x)<0$ 知 $g^{\prime \prime }(x_0)<0$。

记 $\phi (x)=f(g(x))$。${\phi }^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(g(x_0))g^{\prime }(x_0)=0$，故 $x_0$ 是驻点。再求二阶导：${\phi }^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime \prime }(g(x_0))g^{\prime }(x_0{)}^2+f^{\prime }(g(x_0))g^{\prime \prime }(x_0)=f^{\prime }(a)g^{\prime \prime }(x_0)$（因 $g^{\prime }(x_0)=0$）。

要 $x_0$ 为极大值点，需 ${\phi }^{\prime \prime }(x_0)<0$。已知 $g^{\prime \prime }(x_0)<0$，故只需 $f^{\prime }(a)>0$，选 B。