2010 年考研数学（三） 第 2 题

线性微分方程「几个特解的组合还是不是解」→ 只看系数之和：和为 $1$ 是非齐次解，和为 $0$ 是齐次解。坑：非齐次要 $\lambda +\mu =1$，齐次要 $\lambda -\mu =0$，两式联立。

本题考查一阶线性非齐次方程解的结构。 关键结论：非齐次解的线性组合 $\sum k_i{\phi }_i$ 仍是非齐次解 $⟺\sum k_i=1$；是对应齐次解 $⟺\sum k_i=0$。

由 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是非齐次方程的解，得 $\lambda +\mu =1$；由 $\lambda y_1-\mu y_2$ 是齐次方程的解，得 $\lambda -\mu =0$。

联立解得 $\lambda =\mu =\frac{1}{2}$，选 A。