2010 年考研数学（三） 第 1 题

看到含 ${\mathrm{e}}^x$ 与 $\frac{1}{x}$ 的差、$x\to 0$ 型极限 → 先通分成单分式，再用 ${\mathrm{e}}^x-1\sim x$（或泰勒到一阶）。坑：$\frac{1}{x}$ 两处会相消，真正贡献来自 ${\mathrm{e}}^x-1$。

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型（$x\to 0$）极限的计算，核心是把括号通分后用 ${\mathrm{e}}^x-1\sim x$ 定阶。

通分：$\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x}-a\right){\mathrm{e}}^x=\frac{1-(1-ax){\mathrm{e}}^x}{x}=\frac{1-{\mathrm{e}}^x}{x}+a{\mathrm{e}}^x$。

当 $x\to 0$：$\frac{1-{\mathrm{e}}^x}{x}\to -1$（因 ${\mathrm{e}}^x-1\sim x$），$a{\mathrm{e}}^x\to a$，故原极限 $=-1+a$。令 $-1+a=1$ 得 $a=2$，选 C。