2010 年考研数学（三） 第 20 题

含参方程组「有多个解」→ 必是无穷多解，先 $|\mathbf{A}|=0$ 缩小参数，再用 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})<n$ 挑出真正相容的参数。坑：$|\mathbf{A}|=0$ 给候选值后必须回代验证相容性，$\lambda =1$ 会因不相容被排除。

本题考查含参非齐次方程组「有无穷多解」的判定与通解。 有两个不同解 $\Rightarrow$ 解不唯一 $\Rightarrow r(\mathbf{A})<3$，即 $|\mathbf{A}|=0$。

$|\mathbf{A}|=(\lambda -1)({\lambda }^2-1)=(\lambda -1{)}^2(\lambda +1)=0$，得 $\lambda =1$ 或 $\lambda =-1$。逐一检验相容性：$\lambda =1$ 时 $r(\mathbf{A})\ne r(\overline{\mathbf{A}})$，无解；$\lambda =-1$ 时需 $a=-2$ 才有 $r(\mathbf{A})=r(\overline{\mathbf{A}})=2<3$。故 $\lambda =-1,a=-2$。

（Ⅱ）$\lambda =-1,a=-2$ 时增广矩阵化简为 $\overline{\mathbf{A}}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \frac{3}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$。导出组基础解系 $(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，非齐次特解 ${\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0\right)}^{\mathrm{T}}$。

通解 $\mathbf{x}=k(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}+{\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2},0\right)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 任意）。