2010 年考研数学（三） 第 19 题

要证 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$ → 设法找到三个函数值相等的点，两次罗尔得两个驻点、对 $f^{\prime }$ 再罗尔一次。坑：由「几个函数值相加 = ...」联想介值定理造等值点，${\int }_0^{2}f$ 用积分中值造第一个等值点。

本题考查积分中值（推广）、介值定理与罗尔定理的连用。

（Ⅰ）由积分中值定理的推广，存在 $\eta \in (0,2)$ 使 ${\int }_0^{2}f(x)dx=2f(\eta )$。又 $2f(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=2f(\eta )$，故 $f(\eta )=f(0)$。

（Ⅱ）$f$ 在 $[2,3]$ 上连续，取到最小值 $m$、最大值 $M$，而 $\frac{f(2)+f(3)}{2}\in [m,M]$，由介值定理存在 $c\in [2,3]$ 使 $f(c)=\frac{f(2)+f(3)}{2}$。由条件 $f(2)+f(3)=2f(0)$，故 $f(c)=f(0)$。

于是 $f(0)=f(\eta )=f(c)$。在 $[0,\eta ]$、$[\eta ,c]$ 上分别用罗尔定理得 ${\xi }_1\in (0,\eta ),{\xi }_2\in (\eta ,c)$ 使 $f^{\prime }({\xi }_1)=f^{\prime }({\xi }_2)=0$；再对 $f^{\prime }$ 在 $[{\xi }_1,{\xi }_2]$ 用罗尔定理，存在 $\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (0,3)$ 使 $f^{\prime \prime }(\xi )=0$。