2010 年考研数学（三） 第 18 题

含参数 $n$ 的定积分求 $n\to \infty$ 极限 → 找一个易算的上界（这里用 $\ln (1+t)\le t$ 放成 $t^n|\ln t|$），算出上界 $\frac{1}{(n+1{)}^2}$ 再夹逼。坑：$|\ln t|$ 在 $(0,1)$ 非负才能保号放缩；${\int }_0^1{t}^n|\ln t|dt$ 用分部积分。

本题考查定积分不等式（比较被积函数）+ 夹逼准则求极限。

（Ⅰ）当 $0\le t\le 1$ 时 $\ln (1+t)\le t$，故 $[\ln (1+t){]}^n\le t^n$，两边乘非负的 $|\ln t|$ 并积分得 ${\int }_0^1|\ln t|[\ln (1+t){]}^{n}dt\le {\int }_0^1{t}^n|\ln t|dt$。

（Ⅱ）先算右端：在 $(0,1)$ 上 $|\ln t|=-\ln t$，分部积分 ${\int }_0^1{t}^n(-\ln t)dt=-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1\ln td(t^{n+1})=\frac{1}{(n+1{)}^2}$。

于是 $0\le u_n\le \frac{1}{(n+1{)}^2}\to 0$，由夹逼准则 $\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$。