2010 年考研数学（三） 第 17 题

「在约束曲面上求最值」→ 拉格朗日乘数法，偏导全零加约束联立。坑：闭曲面（球面）上连续函数必有最大最小，把所有驻点值都算出来比较即可，$u=\pm 5\sqrt{5}$。

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）。 构造 $F=xy+2yz+\lambda (x^2+y^2+z^2-10)$。

令各偏导为零：$F_x=y+2\lambda x=0,F_y=x+2z+2\lambda y=0,F_z=2y+2\lambda z=0,x^2+y^2+z^2=10$。

解得驻点（如 $(\pm 1,\pm \sqrt{5},\pm 2)$ 一类）。在 $(1,\sqrt{5},2)$ 与 $(-1,-\sqrt{5},-2)$ 处 $u=5\sqrt{5}$；在 $(1,-\sqrt{5},2)$ 与 $(-1,\sqrt{5},-2)$ 处 $u=-5\sqrt{5}$；另有点处 $u=0$。

球面为有界闭集，$u$ 连续必取到最值，比较得 $u_{\max }=5\sqrt{5},u_{\min }=-5\sqrt{5}$。