2010 年考研数学（三） 第 16 题

二重积分被积是 $(x+y{)}^3$ 且区域对称 → 展开后用奇偶对称性砍掉一半项，再定限累次积分。坑：$D$ 关于 $x$ 轴对称，消去含 $y$ 奇次幂（$3x^{2}y,y^3$）；定 $x$ 限时左边界是直线 $x=\sqrt{2}y$、右边界是曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$。

本题考查二重积分利用对称性化简 + 直角坐标累次积分。 区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称（三条边界关于 $y\to -y$ 对称）。

展开 $(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$。其中 $3x^{2}y$ 与 $y^3$ 是 $y$ 的奇函数，在对称区域上积分为 $0$，故 $I={\iint }_D(x^3+3x{y}^2)dxdy$。

被积函数 $x^3+3x{y}^2$ 关于 $y$ 为偶，取上半（$0\le y\le 1$）加倍。对每个 $y$，$x$ 从直线 $x=\sqrt{2}y$ 到曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$：$I=2{\int }_0^1{\int }_{\sqrt{2}y}^{\sqrt{1+y^2}}(x^3+3x{y}^2)dxdy$。

内层积分后 $I=\frac{1}{2}{\int }_0^1(1+2y^2-3y^4)dy+3{\int }_0^1(y^2-y^4)dy=\frac{14}{15}$。