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2010 年考研数学（三）第 15 题

解答题 · 10 分

求极限

x \to + \infty lim (x^{\frac{1}{x}} - 1)^{\frac{1}{l n x}}

.

提示 1

幂指函数先取对数：极限

= e^{l i m \frac{l n ( x ^{1/ x} - 1 )}{l n x}}

。

提示 2

用

x^{1/ x} = e^{l n x / x}

，因

ln x / x \to 0

得

x^{1/ x} - 1 \sim \frac{ln x}{x}

。

提示 3

代入求

\frac{ln ( ln x / x )}{ln x} \to - 1

，注意

\frac{ln ln x}{ln x} \to 0

。

答案与详解

答案 $\frac{1}{e}$

思路（为什么这么做）

(\cdot)^{1/ l n x}

且底

\to 0

（

0^{0}

型）→ 取对数变

e^{(\cdot)}

，再用

x^{1/ x} - 1 \sim \frac{l n x}{x}

化简。坑：

ln \frac{l n x}{x} = ln ln x - ln x

，除以

ln x

后

\frac{l n l n x}{l n x} \to 0

，剩

- 1

。

解答

本题考查 $0^{0}$ 型幂指极限：取对数化为 $e^{(极限)}$ 。 记原式

= exp (x \to + \infty lim \frac{ln ( x ^{1/ x} - 1 )}{ln x})

。

由

x^{1/ x} = e^{\frac{l n x}{x}}

且

\frac{ln x}{x} \to 0

，有

x^{1/ x} - 1 \sim \frac{ln x}{x}

。于是

ln (x^{1/ x} - 1) \sim ln \frac{ln x}{x} = ln ln x - ln x

。

故指数

x \to + \infty lim \frac{ln ln x - ln x}{ln x} = x \to + \infty lim (\frac{ln ln x}{ln x} - 1) = 0 - 1 = - 1

。

所以原极限

= e^{- 1} = \frac{1}{e}

。

考点：极限的计算方法综合、等价无穷小替换

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