2010 年考研数学（三）第 14 题

填空题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

N (μ, σ^{2}) (σ > 0)

的简单随机样本，记统计量

T = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

，则

E (T) =

______.

提示 1

期望的线性性：

E (T) = \frac{1}{n} \sum E (X_{i}^{2})

，各项同分布故

= E (X^{2})

。

提示 2

不能直接说

E (X^{2}) = μ^{2}

，要用

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

。

提示 3

代入

D (X) = σ^{2}, E (X) = μ

。

答案与详解

答案 $σ^{2} + μ^{2}$

思路（为什么这么做）

求

\sum X_{i}^{2}

型统计量的期望 → 用

E (X^{2}) = D (X) + (E X)^{2}

把平方的期望拆开。坑：

E (X^{2}) \neq = (E X)^{2}

，一定要补上方差

σ^{2}

，结果是

σ^{2} + μ^{2}

。

解答

本题考查统计量的期望 + 公式 $E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}$ 。

X_{i}

独立同分布于

N (μ, σ^{2})

。

E (T) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n E (X_{i}^{2}) = E (X^{2})

（各项相同）。

而

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = σ^{2} + μ^{2}

，故

E (T) = σ^{2} + μ^{2}

。

2010 年考研数学（三） 第 14 题