2010 年考研数学（三） 第 13 题

求 $|\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}|$ 而已知 $|{\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}|$ → 提取公因子 $\mathbf{A}(\cdots ){\mathbf{B}}^{-1}$ 把待求量与已知量连起来，再用 $|XYZ|=|X||Y||Z|$。坑：$|{\mathbf{B}}^{-1}|=1/|\mathbf{B}|$，别把 $|\mathbf{B}|$ 直接乘上去。

本题考查用「提取公因子矩阵 + 行列式乘积」化归已知量。 关键恒等式 $\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}=\mathbf{A}({\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}){\mathbf{B}}^{-1}$。

验证：$\mathbf{A}({\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}){\mathbf{B}}^{-1}=(\mathbf{E}+\mathbf{A}\mathbf{B}){\mathbf{B}}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}+\mathbf{A}$。两边取行列式：$|\mathbf{A}+{\mathbf{B}}^{-1}|=|\mathbf{A}||{\mathbf{A}}^{-1}+\mathbf{B}||{\mathbf{B}}^{-1}|$。

$=3\times 2\times \frac{1}{|\mathbf{B}|}=3\times 2\times \frac{1}{2}=3$。