2010 年考研数学（三） 第 21 题

给出正交矩阵 $\mathbf{Q}$ 的某一列 → 它是 $\mathbf{A}$ 的单位特征向量，代入 $\mathbf{A}\mathbf{\xi }=\lambda \mathbf{\xi }$ 可同时解出未知参数与该特征值。坑：实对称矩阵不同特征值对应的特征向量本就正交，单位化后直接拼成 $\mathbf{Q}$，无需施密特。

本题考查实对称矩阵的正交对角化，及「$\mathbf{Q}$ 的列是 $\mathbf{A}$ 的单位特征向量」。 $\mathbf{Q}$ 第 $1$ 列 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是 $\mathbf{A}$ 的特征向量，即 ${\mathbf{\xi }}_1=(1,2,1{)}^{\mathrm{T}}$。

由 $\mathbf{A}{\mathbf{\xi }}_1={\lambda }_1{\mathbf{\xi }}_1$：第 $1$ 分量 $-2+4={\lambda }_1$，第 $2$ 分量 $-1+6+a=2{\lambda }_1$。得 ${\lambda }_1=2$，且 $5+a=4$ 即 $a=-1$。

$a=-1$ 代入求全部特征值：$|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -2)(\lambda +4)(\lambda -5)$，得 ${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-4,{\lambda }_3=5$。分别解得特征向量 ${\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_3=(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

单位化：${\mathbf{\gamma }}_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$，取 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)$，则 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathrm{diag}(2,-4,5)$。