2010 年考研数学（三） 第 22 题

二维正态型 ${\mathrm{e}}^{\text{二次型}}$ 求常数/条件密度 → 先对指数配方成两个独立平方，再用高斯积分 $\int {\mathrm{e}}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$。坑：条件密度 = 联合/边缘，配方成 $-(y-x{)}^2$ 后 $Y\mid X=x\sim N(x,\frac{1}{2})$。

本题考查二维密度的规范性求常数 + 由联合、边缘密度算条件密度。 指数配方：$-2x^2+2xy-y^2=-x^2-(x-y{)}^2$。

归一化：$1=A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-(y-x{)}^2}dy=A{\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}dx\right)}^2=A\pi$，故 $A=\frac{1}{\pi }$。（用 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$。）

边缘密度：$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy=\frac{1}{\pi }{\mathrm{e}}^{-x^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-(y-x{)}^2}dy=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2}$。

条件密度：$f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\frac{1}{\pi }{\mathrm{e}}^{-x^2-(y-x{)}^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-(y-x{)}^2}$，即 $Y\mid X=x\sim N\left(x,\frac{1}{2}\right)$。