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2010 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

箱中装有

6

个球，其中红、白、黑球的个数分别为

1, 2, 3

个。现从箱中随机地取出

2

个球，记

X

为取出的红球个数，

Y

为取出的白球个数。（Ⅰ）求随机变量

(X, Y)

的概率分布；（Ⅱ）求

Cov (X, Y)

提示 1

总取法

(2 6) = 15

，

X \in {0, 1}

（红只有

1

个），

Y \in {0, 1, 2}

。

提示 2

每个

P (X = i, Y = j)

用组合数：选

i

红、

j

白、其余取黑，除以

15

；注意

P (1, 2) = 0

。

提示 3

求边缘得

E (X), E (Y)

，由

X Y

分布得

E (X Y)

，代

Cov = E (X Y) - E (X) E (Y)

。

答案与详解

答案（Ⅰ）联合分布： $P (0, 0) = \frac{1}{5}, P (0, 1) = \frac{2}{5}, P (0, 2) = \frac{1}{15}, P (1, 0) = \frac{1}{5}, P (1, 1) = \frac{2}{15}, P (1, 2) = 0$ ；（Ⅱ） $Cov (X, Y) = - \frac{4}{45}$

思路（为什么这么做）

从袋中不放回取球、求两个计数变量的联合分布 → 超几何/古典概型逐格组合数，再

Cov = E (X Y) - E X E Y

。坑：约束

X + Y \leq 2

使

P (1, 2) = 0

；

E (X Y)

只有

(1, 1)

格贡献，结果

Cov = - \frac{4}{45} < 0

（红白此消彼长）。

解答

本题考查超几何型（古典概型）联合分布律 + 协方差 $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)$ 。

X

取

0, 1

，

Y

取

0, 1, 2

，总取法

(2 6) = 15

。

逐格用组合数：

P (0, 0) = \frac{( 2 3 )}{15} = \frac{1}{5}, P (0, 1) = \frac{( 1 3 ) ( 1 2 )}{15} = \frac{2}{5}, P (0, 2) = \frac{( 2 2 )}{15} = \frac{1}{15}

；

P (1, 0) = \frac{( 1 1 ) ( 2 3 )}{15} = \frac{1}{5}, P (1, 1) = \frac{( 1 1 ) ( 1 2 )}{15} = \frac{2}{15}, P (1, 2) = 0

。

由边缘分布

E (X) = \frac{1}{3}

，

E (Y) = 1 \cdot \frac{8}{15} + 2 \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{3}

；由

X Y

的分布（仅

(1, 1)

格非零）

E (X Y) = 1 \cdot \frac{2}{15} = \frac{2}{15}

。

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = \frac{2}{15} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{15} - \frac{2}{9} = - \frac{4}{45}

。

考点：二维随机变量与联合分布、协方差与相关系数

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