2009 年考研数学（三） 第 9 题

看到「$\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{\cos x}$ 型」→ 提公因子 $\mathrm{e}$ 化成 ${\mathrm{e}}^{\cos x-1}-1$，再套 ${\mathrm{e}}^v-1\sim v$ 与 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$。坑：$(1+x^2{)}^{1/3}-1$ 用幂函数等价 $\frac{1}{3}{x}^2$，别漏掉系数 $\frac{1}{3}$。

本题考查等价无穷小替换求极限。 分母 $\sqrt[3]{1+x^2}-1=(1+x^2{)}^{1/3}-1\sim \frac{x^2}{3}$。

分子 $\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{\cos x}=-\mathrm{e}\left({\mathrm{e}}^{\cos x-1}-1\right)\sim -\mathrm{e}(\cos x-1)=\mathrm{e}(1-\cos x)\sim \mathrm{e}\cdot \frac{x^2}{2}$。

故原式 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{e}\cdot \frac{x^2}{2}}{\frac{x^2}{3}}=\frac{3\mathrm{e}}{2}$。