2009 年考研数学（三） 第 8 题

看到「离散与连续变量之积 $Z=XY$ 的分布函数」→ 对离散那部分用全概率公式分支求 $F_Z$。坑：$Y$ 取 $0$ 会把概率质量 $\frac{1}{2}$ 堆在 $Z=0$ 处，使 $F_Z$ 在 $z=0$ 产生一个跳跃间断（其余连续），故恰好 $1$ 个。

本题考查用全概率公式求两随机变量之积的分布函数，并判连续性。 对 $Y$ 的取值做全概率分解：$F_Z(z)=P\{XY\le z\}=P\{Y=0\}P\{XY\le z\mid Y=0\}+P\{Y=1\}P\{XY\le z\mid Y=1\}$。

当 $Y=0$ 时 $Z=0$，$\{Z\le z\}$ 是必然事件当 $z\ge 0$、不可能事件当 $z<0$；当 $Y=1$ 时 $Z=X$。故 $F_Z(z)=\frac{1}{2}P\{z\ge 0\}+\frac{1}{2}\Phi (z)$，其中 $\Phi$ 为标准正态分布函数。

即 $F_Z(z)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\Phi (z),& z<0,\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Phi (z),& z\ge 0.\end{array}$ 在 $z=0$ 处左极限 $\frac{1}{2}\Phi (0)=\frac{1}{4}$，右值 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，有一个跳跃；其余处连续。故间断点仅 $1$ 个，选 B。