2009 年考研数学（三） 第 10 题

看到「幂指函数 $u^v$ 求偏导」→ 化 ${\mathrm{e}}^{v\ln u}$ 再求导（对 $x$ 偏导时 $y$ 当常数）。坑：不能只当幂函数或只当指数函数，$\frac{\partial }{\partial x}$ 里底数与指数都含 $x$，须用 $\ln u+\frac{v{u}_x^{\prime }}{u}$ 完整式。

本题考查幂指函数求偏导（对 $x$ 求偏导时把 $y$ 看作常数，用对数恒等式）。 写成 $z={\mathrm{e}}^{x\ln (x+{\mathrm{e}}^y)}$。

则 $\frac{\partial z}{\partial x}={\mathrm{e}}^{x\ln (x+{\mathrm{e}}^y)}\left[\ln (x+{\mathrm{e}}^y)+\frac{x}{x+{\mathrm{e}}^y}\right]$。

代入 $(1,0)$：$x+{\mathrm{e}}^y=1+1=2$，${\mathrm{e}}^{x\ln (x+{\mathrm{e}}^y)}={\mathrm{e}}^{\ln 2}=2$，方括号 $=\ln 2+\frac{1}{2}$。故 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(1,0)}=2\left(\ln 2+\frac{1}{2}\right)=2\ln 2+1$。