2009 年考研数学（三） 第 11 题

看到「系数含 ${\mathrm{e}}^n\pm (-1{)}^n$ 求收敛半径」→ 比值法里指数项 ${\mathrm{e}}^n$ 主导、多项式 $n^2$ 因子趋于 $1$。坑：$R=1/\rho$，别把极限 $\mathrm{e}$ 直接当半径；$(-1{)}^n$ 不影响极限。

本题考查幂级数收敛半径（比值法求系数极限）。 记系数 $a_n=\frac{{\mathrm{e}}^n-(-1{)}^n}{n^2}$。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{n+1}-(-1{)}^{n+1}}{{\mathrm{e}}^n-(-1{)}^n}\cdot \frac{n^2}{(n+1{)}^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1-\frac{(-1{)}^{n+1}}{{\mathrm{e}}^{n+1}}}{1-\frac{(-1{)}^n}{{\mathrm{e}}^n}}=\mathrm{e}$（分子分母中 ${\mathrm{e}}^n$ 占主导，$\frac{n^2}{(n+1{)}^2}\to 1$）。

故 $\rho =\mathrm{e}$，收敛半径 $R=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{\mathrm{e}}$。