2009 年考研数学（三） 第 12 题

看到「已知需求弹性，问价格微增对收益的影响」→ 收益 $L=pQ$、$L^{\prime }=Q(1-{\epsilon }_p)$（用 $p{Q}^{\prime }/Q=-{\epsilon }_p$）。坑：弹性通常取正值表示降幅，代入边际时 $p{Q}^{\prime }=-{\epsilon }_{p}Q$ 要带负号，故 $L^{\prime }=0.8Q$ 而非 $1.2Q$。

本题考查收益的边际与需求价格弹性的关系。 收益 $L(p)=pQ$，收益对价格的边际为 $L^{\prime }(p)=Q+p{Q}^{\prime }$。

这里弹性取 $\frac{\mathrm{d}Q/Q}{\mathrm{d}p/p}=\frac{p{Q}^{\prime }}{Q}=-0.2$（需求随价升而降），故 $p{Q}^{\prime }=-0.2Q$。

代入得 $L^{\prime }(p)=Q+p{Q}^{\prime }=Q-0.2Q=0.8Q$。当 $Q=10000$ 时 $L^{\prime }(p)=0.8\times 10000=8000$，即价格每增 $1$ 元收益约增 $8000$ 元。