2009 年考研数学（三） 第 13 题

看到「$\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$ 相似于某对角阵求参数」→ 用迹相等，且 $\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$（秩一矩阵唯一非零特征值就等于这个数）。坑：别去展开 $3\times 3$ 矩阵算迹，直接用内积 ${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$ 最快。

本题考查相似矩阵的不变量：相似矩阵有相同的特征值与迹。 对角阵 $\mathrm{diag}(3,0,0)$ 的特征值为 $3,0,0$，迹为 $3$。

$\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& k\\ 1& 0& k\\ 1& 0& k\end{array}\right)$，其迹 $\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})={\beta }^{\mathrm{T}}\alpha =1+0+k=1+k$。

由相似关系 $\mathrm{tr}(\alpha {\beta }^{\mathrm{T}})=3$，即 $1+k=3$，解得 $k=2$。