2009 年考研数学（三）第 14 题

填空题 · 4 分

设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{m}

为来自二项分布总体

B (n, p)

的简单随机样本，

\overset{ˉ}{X}

和

S^{2}

分别为样本均值和样本方差。记统计量

T = \overset{ˉ}{X} - S^{2}

，则

E (T) =

______.

提示 1

牢记两条：

E (\overset{ˉ}{X}) = E (X) = μ

；

E (S^{2}) = D (X) = σ^{2}

（

S^{2}

是无偏估计）。

提示 2

二项分布

B (n, p)

的

E (X) = n p

，

D (X) = n p (1 - p)

。

提示 3

作差：

E (T) = n p - n p (1 - p)

。

答案与详解

答案 $n p^{2}$

思路（为什么这么做）

看到「

T = \overset{ˉ}{X} - S^{2}

求

E (T)

」→ 直接用

E (\overset{ˉ}{X}) = μ

、

E (S^{2}) = σ^{2}

，与样本容量

m

无关。坑：

E (S^{2})

等于总体方差

σ^{2}

（不是

σ^{2} / m

），二项方差是

n p (1 - p)

，作差正好得

n p^{2}

。

解答

本题考查样本均值、样本方差的期望这两个基本结论： $E (\overset{ˉ}{X}) = E (X)$ ， $E (S^{2}) = D (X)$ 。

总体

X \sim B (n, p)

，故

E (X) = n p

，

D (X) = n p (1 - p)

。

从而

E (\overset{ˉ}{X}) = E (X) = n p

，

E (S^{2}) = D (X) = n p (1 - p)

。所以

E (T) = E (\overset{ˉ}{X}) - E (S^{2}) = n p - n p (1 - p) = n p^{2}

。

2009 年考研数学（三） 第 14 题