2009 年考研数学（三） 第 15 题

看到「求二元函数极值」→ 解驻点 + $AC-B^2$ 判别法。坑：含 $y\ln y$ 时定义域是 $y>0$，且 $f_x^{\prime }=2x(2+y^2)$ 因 $2+y^2>0$ 恒正而强制 $x=0$，从而驻点唯一。

本题考查二元函数无条件极值：解驻点、用 $AC-B^2$ 判别。 注意定义域 $y>0$。

求偏导 $f_x^{\prime }=2x(2+y^2)$，$f_y^{\prime }=2x^{2}y+\ln y+1$。令二者为零：由 $2x(2+y^2)=0$（$2+y^2>0$）得 $x=0$；代入 $\ln y+1=0$ 得 $y=\frac{1}{\mathrm{e}}$。故唯一驻点 $\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$。

二阶偏导：$A=f_{xx}^{\prime \prime }=2(2+y^2){|}_{(0,1/\mathrm{e})}=2\left(2+\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}\right)>0$，$B=f_{xy}^{\prime \prime }=4xy{|}_{(0,1/\mathrm{e})}=0$，$C=f_{yy}^{\prime \prime }=\left(2x^2+\frac{1}{y}\right){|}_{(0,1/\mathrm{e})}=\mathrm{e}$。

$B^2-AC=-2\mathrm{e}\left(2+\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}\right)<0$ 且 $A>0$，故 $\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 是极小值点，极小值 $f\left(0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=0+\frac{1}{\mathrm{e}}\ln \frac{1}{\mathrm{e}}=-\frac{1}{\mathrm{e}}$。