2009 年考研数学（三） 第 16 题

看到「$\int \ln (\cdots \sqrt{\cdot })\mathrm{d}x$」→ 先分部把对数导掉，再根式换元把剩下的化成有理函数。坑：换元后分母出现重因子 $(t+1{)}^2$，部分分式要设 $\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{C}{(t+1{)}^2}$，且最后必须回代化简。

本题考查分部积分 + 根式换元 + 有理函数部分分式。 先分部积分（$u=\ln (1+\sqrt{\frac{1+x}{x}})$，$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$）：

令 $\sqrt{\frac{1+x}{x}}=t(t>1)$，则 $x=\frac{1}{t^2-1}$。于是 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)\mathrm{d}x=\int \ln (1+t)\mathrm{d}\left(\frac{1}{t^2-1}\right)=\frac{\ln (1+t)}{t^2-1}-\int \frac{1}{(t^2-1)(t+1)}\mathrm{d}t$。

对 $\frac{1}{(t^2-1)(t+1)}=\frac{1}{(t+1{)}^2(t-1)}$ 作部分分式，得 $=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(t+1{)}^2}$，积分为 $\frac{1}{4}\ln \frac{t-1}{t+1}+\frac{1}{2(t+1)}$。

回代 $t=\sqrt{\frac{1+x}{x}}$（并化简 $\frac{1}{t^2-1}=x$、$\frac{1}{4}\ln \frac{t-1}{t+1}=\frac{1}{2}\ln (\sqrt{1+x}+\sqrt{x})+\text{常数}$ 等），整理得 $\int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)\mathrm{d}x=x\ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)+\frac{1}{2}\ln \left(\sqrt{1+x}+\sqrt{x}\right)+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\sqrt{x+x^2}+C$。