2009 年考研数学（三） 第 17 题

看到「圆盘被过圆心直线截半 + 线性被积函数」→ 以圆心为极点做平移极坐标，$r$ 满量程、$\theta$ 由半平面定区间。坑：极点取在圆心而非原点，$x-y$ 要用平移后的 $r(\cos \theta -\sin \theta )$（常数 $1-1$ 抵消）。

本题考查二重积分的极坐标计算（以圆心为极点最简）。 $D$ 是以 $(1,1)$ 为心、半径 $\sqrt{2}$ 的圆盘被直线 $y=x$（过圆心）截出的一半（$y\ge x$ 一侧）。

作平移极坐标 $x=1+r\cos \theta ,y=1+r\sin \theta$。$y\ge x\iff \sin \theta \ge \cos \theta \iff \theta \in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$，且 $0\le r\le \sqrt{2}$。此时 $x-y=r(\cos \theta -\sin \theta )$，面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。

于是 ${\iint }_D(x-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{\sqrt{2}}{r}^2(\cos \theta -\sin \theta )\mathrm{d}r=\frac{2\sqrt{2}}{3}{\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}(\cos \theta -\sin \theta )\mathrm{d}\theta$。

而 $\cos \theta -\sin \theta =\sqrt{2}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$，${\int }_{\pi /4}^{5\pi /4}\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\mathrm{d}\theta =[\sin (\theta +\frac{\pi }{4}){]}_{\pi /4}^{5\pi /4}=-2$。故原积分 $=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \sqrt{2}\cdot (-2)=-\frac{8}{3}$。