2009 年考研数学（三） 第 18 题

证拉格朗日 → 构造辅助函数 $F=f-\text{割线}$ 归结到罗尔；证「导数极限 $\Rightarrow$ 端点可导」→ 用定义式配拉格朗日把差商换成 $f^{\prime }(\xi )$ 再取极限。坑：（Ⅱ）不能直接对 $f^{\prime }$ 用洛必达或连续性，$f^{\prime }$ 在 $0$ 处未必连续，必须走中值定理 + 夹逼 $\xi \to 0^{+}$。

本题考查中值定理的证明与「导数极限定理」（右导数）。 （Ⅰ）构造辅助函数化为罗尔定理。

（Ⅰ）令 $F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$。则 $F$ 在 $[a,b]$ 连续、$(a,b)$ 可导，且 $F(a)=f(a)$，$F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a)$，即 $F(a)=F(b)$。由罗尔定理存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $F^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即 $f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$。

（Ⅱ）对任意 $t\in (0,\delta )$，$f$ 在 $[0,t]$ 连续、$(0,t)$ 可导，由拉格朗日定理存在 $\xi \in (0,t)$ 使 $\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=f^{\prime }(\xi )$。故 $f_{+}^{\prime }(0)=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )$。

当 $t\to 0^{+}$ 时 $\xi \in (0,t)$ 也 $\to 0^{+}$，而 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$，故 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{f}^{\prime }(\xi )=A$。因此 $f_{+}^{\prime }(0)$ 存在且等于 $A$。