2009 年考研数学（三） 第 19 题

看到「几何量之间的比例关系求曲线」→ 列积分方程，对上限 $t$ 求导（含变限积分求导）化成 ODE。坑：得到的 $(2y-t)y^{\prime }=2y$ 若以 $y$ 为自变量难解，翻过来把 $t$ 当 $y$ 的函数就是标准一阶线性；初值由原方程令 $t=1$ 得 $f(1)=1$。

本题考查由几何量（体积、面积）建立积分方程，求导化为一阶线性微分方程求解。 旋转体体积 $V(t)=\pi {\int }_1^t{f}^2(x)\mathrm{d}x$，曲边梯形面积 $S(t)={\int }_1^{t}f(x)\mathrm{d}x$。

由题意 $\pi {\int }_1^t{f}^2\mathrm{d}x=\pi t{\int }_1^{t}f\mathrm{d}x$，即 ${\int }_1^t{f}^2\mathrm{d}x=t{\int }_1^{t}f\mathrm{d}x$。两边对 $t$ 求导：$f^2(t)={\int }_1^{t}f\mathrm{d}x+tf(t)$。再求导：$2f{f}^{\prime }=2f+t{f}^{\prime }$，即 $(2f-t)f^{\prime }=2f$。

以 $y=f(t)$ 为因变量、$t$ 为函数，改写为 $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}y}+\frac{1}{2y}t=1$（一阶线性）。解得 $t=\left(\int {\mathrm{e}}^{\int \frac{1}{2y}\mathrm{d}y}\mathrm{d}y+C\right){\mathrm{e}}^{-\int \frac{1}{2y}\mathrm{d}y}=C{y}^{-1/2}+\frac{2}{3}y$。

在 $f^2(t)={\int }_1^{t}f\mathrm{d}x+tf(t)$ 中令 $t=1$ 得 $f(1)=1$，即 $(t,y)=(1,1)$。代入定 $C$：$1=C+\frac{2}{3}\Rightarrow C=\frac{1}{3}$。故所求曲线为 $x=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}+2y\right)$。