2009 年考研数学（三） 第 20 题

看到「求满足 $A\xi =\eta$ 的所有向量」→ 解非齐次组写通解（特解 + 基础解系）。证线性无关：含参向量宜用「行列式与参数无关地非零」或「反复左乘 $A$ 降解」。坑：法二的关键是先确认 $A{\xi }_1=0$，再借 $A^2{\xi }_3={\xi }_1$ 把 $k_3$ 先逼出来。

本题考查解非齐次线性方程组（含参通解）与线性无关的证明。 （Ⅰ）对增广矩阵消元。

$(A\mid {\xi }_1)=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& -1\\ -1& 1& 1& 1\\ 0& -4& -2& -2\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 ${\xi }_2=k_1\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)$（$k_1$ 任意）。

又 $A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ -2& -2& 0\\ 4& 4& 0\end{array}\right)$，$(A^2\mid {\xi }_1)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$，得 ${\xi }_3=k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$（$k_2,k_3$ 任意）。

（Ⅱ）法一（行列式）：$|{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3|=\left|\begin{array}{ccc}-1& \frac{1}{2}{k}_1-\frac{1}{2}& -k_2-\frac{1}{2}\\ 1& -\frac{1}{2}{k}_1+\frac{1}{2}& k_2\\ -2& k_1& k_3\end{array}\right|=-\frac{1}{2}\ne 0$，故三向量线性无关。

（Ⅱ）法二（逐次左乘 $A$）：由直接计算知 $A{\xi }_1=0$。设 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+k_3{\xi }_3=0$，两边左乘 $A$，利用 $A{\xi }_1=0$、$A{\xi }_2={\xi }_1$ 得 $k_2{\xi }_1+k_{3}A{\xi }_3=0$；再左乘 $A$，利用 $A^2{\xi }_3={\xi }_1$ 得 $k_3{\xi }_1=0$。因 ${\xi }_1\ne 0$，故 $k_3=0$，回代依次得 $k_2=0$、$k_1=0$。所以 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 线性无关。