2009 年考研数学（三） 第 21 题

看到「已知规范形反求参数」→ 规范形里正平方项个数 = 正特征值个数、总项数 = 秩。坑：三个特征值已按 $a-2<a<a+1$ 排序，要「$2$ 正 $1$ 零」只能让最小者为零，故 $a=2$（不能让中间或最大者为零，否则会出现负特征值或秩不对）。

本题考查二次型矩阵的特征值与规范形（正、负惯性指数）的关系。 二次型矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& a& -1\\ 1& -1& a-1\end{array}\right)$。

（Ⅰ）$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& 0& -1\\ 0& \lambda -a& 1\\ -1& 1& \lambda -a+1\end{array}\right|=(\lambda -a)[\lambda -(a+1)][\lambda -(a-2)]$，故特征值为 ${\lambda }_1=a,{\lambda }_2=a+1,{\lambda }_3=a-2$。

（Ⅱ）规范形为 $y_1^2+y_2^2$，说明正惯性指数为 $2$、负惯性指数为 $0$、秩为 $2$，即三个特征值中恰有 $2$ 个为正、$1$ 个为零。

由 $a-2<a<a+1$，为得「$2$ 正 $1$ 零」，只能让最小的 $a-2=0$，即 $a=2$。此时特征值为 $2,3,0$，恰好 $2$ 正 $1$ 零，规范形为 $y_1^2+y_2^2$，符合。故 $a=2$。