2009 年考研数学（三） 第 22 题

看到「条件密度 / 条件概率」→ 先求相应边缘密度，条件密度 $=f/f_X$，条件概率 $=\frac{P\{\cap \}}{P\{\text{条件}\}}$。坑：积分限要严格套 $0<y<x$；分子是二重积分 $P\{X\le 1,Y\le 1\}$，因 $y<x\le 1$ 自动含 $y\le 1$，积分区域即三角形 $0<y<x<1$。

本题考查由联合密度求边缘密度、条件密度，以及用二重积分算条件概率。

（Ⅰ）$X$ 的边缘密度：当 $x>0$ 时 $f_X(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}y=x{\mathrm{e}}^{-x}$，否则为 $0$。故条件密度 $f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{x{\mathrm{e}}^{-x}}=\frac{1}{x}(0<y<x,x>0)$，其余为 $0$（即给定 $X=x$，$Y$ 在 $(0,x)$ 上均匀分布）。

（Ⅱ）$Y$ 的边缘密度：当 $y>0$ 时 $f_Y(y)={\int }_y^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x={\mathrm{e}}^{-y}$，否则为 $0$。由条件概率 $P\{X\le 1\mid Y\le 1\}=\frac{P\{X\le 1,Y\le 1\}}{P\{Y\le 1\}}$。

分子 ${\iint }_{x\le 1,y\le 1}f\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}y={\int }_0^{1}x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1-\frac{2}{\mathrm{e}}$；分母 ${\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-y}\mathrm{d}y=1-\frac{1}{\mathrm{e}}$。故 $P\{X\le 1\mid Y\le 1\}=\frac{1-\frac{2}{\mathrm{e}}}{1-\frac{1}{\mathrm{e}}}=\frac{\mathrm{e}-2}{\mathrm{e}-1}$。