2009 年考研数学（三） 第 23 题

看到「放回取两次、按颜色计数求联合分布」→ 每格概率 = 排列数 $\times$（各次颜色概率之积），本质是三项的多项分布。坑：一红一黑、一红一白等「两色各一次」要乘 $C_2^1=2$（顺序）；两次同色则不乘；$X+Y>2$ 的格子概率为 $0$。

本题考查放回抽样（每次取球相互独立、古典概型）下的条件概率与二维离散分布。 每次取到红、黑、白的概率分别为 $\frac{1}{6},\frac{2}{6},\frac{3}{6}$。

（Ⅰ）$Z=0$ 表示两次都不取白球（都取自红、黑共 $3$ 球），$P\{Z=0\}={\left(\frac{3}{6}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$。$\{X=1,Z=0\}$ 表示一次红、一次黑，$P\{X=1,Z=0\}=\frac{C_2^1\times C_2^1}{6\times 6}=\frac{4}{36}$（$C_2^1$ 选哪次取红，$C_2^1$ 为 $2$ 个黑球）。故 $P\{X=1\mid Z=0\}=\frac{4/36}{(1/2{)}^2}=\frac{4}{9}$。

（Ⅱ）$(X,Y)$ 的可能取值满足 $X+Y\le 2$。逐一计算：$P\{X=0,Y=0\}=\frac{3^2}{6^2}=\frac{1}{4}$，$P\{X=0,Y=1\}=\frac{C_2^1\cdot 2\cdot 3}{6^2}=\frac{1}{3}$，$P\{X=0,Y=2\}=\frac{2^2}{6^2}=\frac{1}{9}$，$P\{X=1,Y=0\}=\frac{C_2^1\cdot 1\cdot 3}{6^2}=\frac{1}{6}$，$P\{X=1,Y=1\}=\frac{C_2^1\cdot 1\cdot 2}{6^2}=\frac{1}{9}$，$P\{X=2,Y=0\}=\frac{1^2}{6^2}=\frac{1}{36}$；其余（$X+Y>2$）概率为 $0$。

即联合分布表为：$P(0,0)=\frac{1}{4},P(0,1)=\frac{1}{3},P(0,2)=\frac{1}{9}$；$P(1,0)=\frac{1}{6},P(1,1)=\frac{1}{9},P(1,2)=0$；$P(2,0)=\frac{1}{36},P(2,1)=0,P(2,2)=0$（各项之和为 $1$）。