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2008 年考研数学（三）第 9 题

填空题 · 4 分

设函数

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 1, \frac{2}{∣ x ∣}, ∣ x ∣ \leq c, ∣ x ∣ > c,

在

(- \infty, + \infty)

内连续，则

c =

______.

提示 1

两段表达式各自连续，连续性只可能在分段点

x = c

处出问题。

提示 2

令左值

c^{2} + 1

等于右极限

2/ c

。

提示 3

解

c^{3} + c - 2 = 0

，注意

c^{2} + c + 2

无实根，只剩

c = 1

。

答案与详解

答案 $1$

思路（为什么这么做）

分段函数「处处连续求参数」→ 在分段点令左右极限（及函数值）相等。坑：

∣ x ∣

使函数偶对称，只需在

x = c

处配平；解三次方程要挑出实根。

解答

本题考查分段函数在分段点处的连续性。 两段各自连续，只需保证分段点

x = c

（由偶性

- c

对称同理）处连续。这里

c > 0

。

左极限与函数值：

f (c - 0) = f (c) = c^{2} + 1

；右极限：

f (c + 0) = \frac{2}{c}

。连续要求二者相等：

c^{2} + 1 = \frac{2}{c}

。

即

c^{3} + c - 2 = 0

，分解

(c - 1) (c^{2} + c + 2) = 0

，实根只有

c = 1

。故

c = 1

。

考点：函数的连续性与间断点、函数的极限

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