2008 年考研数学（三） 第 10 题

见 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\cdots$ 求 $f$ → 把右端整体凑成 $x+\frac{1}{x}$ 的函数（常用 $x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x}{)}^2-2$）。坑：还原后自变量换回 $x$，积分区间 $[2,2\sqrt{2}]$ 保证 $x^2-2>0$。

本题考查由 $f(x+1/x)$ 还原 $f$，再算定积分。 分子分母同除 $x^2$，凑出 $x+\frac{1}{x}$。

$\frac{x+x^3}{1+x^4}=\frac{\frac{1}{x}+x}{\frac{1}{x^2}+x^2}=\frac{x+\frac{1}{x}}{{\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-2}$，故 $f(t)=\frac{t}{t^2-2}$，即 $f(x)=\frac{x}{x^2-2}$。

于是 ${\int }_2^{2\sqrt{2}}\frac{x}{x^2-2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln (x^2-2){|}_2^{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}(\ln 6-\ln 2)=\frac{1}{2}\ln 3$。