2008 年考研数学（三） 第 11 题

圆域上二重积分 → 先用奇偶对称砍掉奇函数项，再用轮换对称把 $x^2$ 变 $\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 后转极坐标。坑：对称性要看清对称轴与被积函数的奇偶性是否匹配。

本题考查二重积分的对称性 + 极坐标计算。 先用对称性去掉一项，再用轮换对称把 $x^2$ 换成 $\frac{1}{2}(x^2+y^2)$。

$D$ 关于 $x$ 轴对称，$-y$ 是 $y$ 的奇函数，故 ${\iint }_D(-y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$。又由 $x,y$ 轮换对称 ${\iint }_D{x}^2={\iint }_D{y}^2=\frac{1}{2}{\iint }_D(x^2+y^2)$。

于是 ${\iint }_D(x^2-y)={\iint }_D{x}^2=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }\mathrm{d}\theta {\int }_0^1{r}^2\cdot r\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4}=\frac{\pi }{4}$。