2008 年考研数学（三） 第 12 题

见 $x{y}^{\prime }+y$ → 认出 $(xy{)}^{\prime }$，方程一步积分得 $xy=C$。坑：也可套一阶线性公式，但认出全微分最快；别忘用初值定常数。

本题考查一阶线性（可分离/全微分）微分方程求解。 注意到 $x{y}^{\prime }+y=(xy{)}^{\prime }$，方程即 $(xy{)}^{\prime }=0$。

由 $(xy{)}^{\prime }=0$ 得 $xy=C$，即 $y=\frac{C}{x}$。（也可按可分离变量 $\frac{\mathrm{d}y}{y}=-\frac{\mathrm{d}x}{x}$ 或一阶线性公式求得同样通解。）

代入初值 $y(1)=1$：$1\cdot 1=C\Rightarrow C=1$。故 $y=\frac{1}{x}$。