2008 年考研数学（三） 第 13 题

求 $|f(A^{-1})|$ 型 → 先把 $A$ 的特征值逐个代入 $f(1/\lambda )$ 得目标矩阵特征值，再连乘。坑：$A^{-1}$ 特征值是 $1/\lambda$（不是 $\lambda$），重根要按重数各算一次。

本题考查关联矩阵特征值的关系 + 行列式等于特征值之积。 若 $A$ 有特征值 $\lambda$，则 $A^{-1}$ 有特征值 $\frac{1}{\lambda }$，$g(A^{-1})$ 有特征值 $g\left(\frac{1}{\lambda }\right)$。

$A$ 的特征值 $1,2,2\Rightarrow A^{-1}$ 的特征值 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\Rightarrow 4A^{-1}-E$ 的特征值为 $4\cdot 1-1=3,4\cdot \frac{1}{2}-1=1,1$。

行列式等于全部特征值之积：$\left|4A^{-1}-E\right|=3\times 1\times 1=3$。