2008 年考研数学（三） 第 8 题

看到 ${\rho }_{XY}=\pm 1$ → 立刻写 $Y=aX+b$（$\rho =1$ 时 $a>0$，$\rho =-1$ 时 $a<0$），再用期望方差定 $a,b$。坑：$a^2=4$ 有两根，符号由 $\rho$ 的正负决定。

本题考查相关系数 $\rho =\pm 1$ 的含义（完全线性相关）。 ${\rho }_{XY}=1⟺$ 存在 $a>0,b$ 使 $P\{Y=aX+b\}=1$（$\rho =-1$ 时 $a<0$）。

由 $Y=aX+b$ 得 $E(Y)=aE(X)+b$、$D(Y)=a^{2}D(X)$。代入 $E(X)=0,D(X)=1,E(Y)=1,D(Y)=4$：$\{\begin{array}{l}b=1,\\ a^2=4,\end{array}$ 又 $\rho =1$ 要求 $a>0$，故 $a=2,b=1$。

于是 $P\{Y=2X+1\}=1$，选 D。