2008 年考研数学（三） 第 7 题

求独立同分布变量 $\max$ 的分布函数 → $F_{\max }(x)=[F(x){]}^n$；$\min$ 则 $F_{\min }(x)=1-[1-F(x){]}^n$。坑：结果只含自变量 $x$，不能出现 $F(y)$；别把 $\max$ 与 $\min$ 公式记混。

本题考查两个独立随机变量取最大值的分布函数。 关键：$\max \le x$ 等价于两个都 $\le x$。

$F_Z(x)=P\{Z\le x\}=P\{\max \{X,Y\}\le x\}=P\{X\le x,Y\le x\}$。由独立性 $=P\{X\le x\}P\{Y\le x\}$；又同分布 $Y$ 的分布函数也是 $F$，故 $=F(x)\cdot F(x)=F^2(x)$，选 A。

辨析：$B$、$D$ 里写 $F(y)$ 是错误的（分布函数是关于同一自变量 $x$ 的函数）；$C$ 是 $\min \{X,Y\}$ 的分布函数公式。