2008 年考研数学（三） 第 6 题

问「与实对称阵 $A$ 合同」→ 比正负惯性指数（特征值符号个数），不比特征值本身。坑：合同只要求符号分布一致，$B,C$ 虽然也对称但都是正定，$A$ 不定，故不合同。

本题考查实对称矩阵的合同判定。 两个实对称矩阵合同 $⟺$ 正、负惯性指数分别相等 $⟺$ 正、负特征值个数分别相同（只看符号，不看大小）。

$A$：由 ${\lambda }^2-2\lambda -3=0$ 得特征值 $3,-1$，正惯性指数 $1$、负惯性指数 $1$。

逐个比较：$(A)$ 特征值 $-1,-3$（$p=0,q=2$）；$(B)$、$(C)$ 特征值 $1,3$（$p=2,q=0$）；$(D)$ 由 ${\lambda }^2-2\lambda -3=0$ 得特征值 $3,-1$（$p=1,q=1$），与 $A$ 相同，故与 $A$ 合同。选 D。