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2008 年考研数学（三）第 5 题

选择题 · 4 分

设

A

为

n

阶非零矩阵，

E

为

n

阶单位矩阵，若

A^{3} = O

，则（　　）

A $E - A$ 不可逆， $E + A$ 不可逆.
B $E - A$ 不可逆， $E + A$ 可逆.
C $E - A$ 可逆， $E + A$ 可逆.
D $E - A$ 可逆， $E + A$ 不可逆.

提示 1

要证

B

可逆，可找矩阵

C

使

B C = E

。

提示 2

利用

a^{3} \pm b^{3}

的分解：

E - A^{3} = (E - A) (E + A + A^{2})

，

E + A^{3} = (E + A) (E - A + A^{2})

。

提示 3

由

A^{3} = O

两式右端都为

E

，故

E - A, E + A

均可逆。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

看到幂零

A^{k} = O

判

E \pm A

可逆 → 用

E = E \mp A^{k}

做因式分解凑出

(E \pm A) (\dots) = E

。坑：非零矩阵不代表可逆；幂零阵特征值全

0

，

E \pm A

特征值全

1

必可逆。

解答

本题考查用「凑因子等于单位阵」判断可逆。 有

A^{3} = O

时，利用

E = E \mp A^{3}

作因式分解。

由

A^{3} = O

：

E = E - A^{3} = (E - A) (E + A + A^{2})

，故

E - A

可逆，且

(E - A)^{- 1} = E + A + A^{2}

。同理

E = E + A^{3} = (E + A) (E - A + A^{2})

，故

E + A

可逆。

所以

E - A

、

E + A

都可逆，选 C。（另证：

A^{3} = O \Rightarrow

特征值全为

0 \Rightarrow E \pm A

的特征值全为

1 \neq = 0

，故都可逆。）

考点：逆矩阵、矩阵的运算

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