2008 年考研数学（三） 第 4 题

被积/区域含 $x^2+y^2$ → 极坐标，面积元 $r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$ 常与分母 $\sqrt{x^2+y^2}=r$ 约掉。坑：对上限 $u$ 求导得 $f(u^2)$（代 $r=u$），别写成 $f(u)$。

本题考查二重积分的极坐标计算 + 对上限求偏导。 区域和被积都含 $x^2+y^2$，用极坐标最省事。

令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则 $D_{uv}=\{(r,\theta )\mid 0\le \theta \le v,1\le r\le u\}$，且面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$：$$F(u,v)={\int }_0^v\mathrm{d}\theta {\int }_1^u\frac{f(r^2)}{r}\cdot r\mathrm{d}r=v{\int }_1^{u}f(r^2)\mathrm{d}r.$$

把 $u$ 看成积分上限，对 $u$ 求偏导（$v$ 视为常数）：$\frac{\partial F}{\partial u}=vf(u^2)$，选 A。