2008 年考研数学（三） 第 3 题

看到偏导在某点存在性、且函数含 $\sqrt{x^2}=|x|$ → 用定义算单侧极限，$|x|$ 处左右不等则偏导不存在。坑：$\sqrt{y^4}=y^2$ 是光滑的，那一路偏导存在，别一概而论。

本题考查用定义判定偏导数是否存在。 在 $(0,0)$ 处 $f$ 含 $|x|$ 型结构（$\sqrt{x^2}=|x|$），必须回到偏导数定义算单侧极限。

对 $x$：$f(x,0)={\mathrm{e}}^{\sqrt{x^2}}={\mathrm{e}}^{|x|}$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{|x|}-1}{x}$。因 ${\mathrm{e}}^{|x|}-1\sim |x|$，左极限 $=-1$、右极限 $=+1$，不相等，故 $f_x^{\prime }(0,0)$ 不存在。

对 $y$：$f(0,y)={\mathrm{e}}^{\sqrt{y^4}}={\mathrm{e}}^{y^2}$，故 $\underset{y\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{e}}^{y^2}-1}{y}=\underset{y\to 0}{\lim }\frac{y^2}{y}=0$，故 $f_y^{\prime }(0,0)=0$ 存在。选 B。