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2008 年考研数学（三）第 2 题

选择题 · 4 分

如图，曲线段的方程为

y = f (x)

，函数

f (x)

在区间

[0, a]

上有连续的导数，则定积分

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x

等于（　　）。（图中

y = f (x)

为从点

D (0, f (0))

到点

A (a, f (a))

的曲线段，

C (0, f (a))

、

B (a, 0)

，

O

为原点，

O B A C

为矩形。）

A曲边梯形 $A B O D$ 的面积.
B梯形 $A B O D$ 的面积.
C曲边三角形 $A C D$ 的面积.
D三角形 $A C D$ 的面积.

提示 1

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x

中

f^{'} (x) d x = d f (x)

，先分部积分。

提示 2

得

a f (a) - \int_{0}^{a} f (x) d x

，把两项各自看成一块面积。

提示 3

a f (a)

是矩形

O B A C

面积，

\int_{0}^{a} f

是曲边梯形

O B A D

面积，作差即曲边三角形

A C D

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

看到

\int x f^{'} (x) d x

求面积含义 → 分部积分成

a f (a) - \int f

，把矩形面积减曲边梯形面积。坑：结果是「曲边三角形

A C D

」（含曲线边），不是直边三角形。

解答

本题考查定积分的分部积分与几何（面积）意义。 先用分部积分把

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x

拆成两块面积之差。

\int_{0}^{a} x f^{'} (x) d x = \int_{0}^{a} x d f (x) = [x f (x)]_{0}^{a} - \int_{0}^{a} f (x) d x = a f (a) - \int_{0}^{a} f (x) d x .

a f (a)

是矩形

O B A C

的面积；

\int_{0}^{a} f (x) d x

是曲边梯形

O B A D

的面积。二者之差恰为曲边三角形

A C D

的面积，选 C。

考点：定积分几何应用（面积、旋转体体积、平均值）、换元积分法与分部积分法

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