2008 年考研数学（三） 第 1 题

看到「$\frac{{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x}$ 在 $x=0$ 的间断类型」→ 用洛必达求极限得 $f(0)$（有限），极限存在有限即可去间断点。坑：别忘 $g(0)$ 本身无定义，这正是「可去」的来源。

本题考查间断点类型的判定。 $g(x)$ 在 $x=0$ 处无定义（形式上为 $\frac{0}{0}$），需先求 $\underset{x\to 0}{\lim }g(x)$ 判断间断点属于哪一类。

分子 ${\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t\to 0$、分母 $x\to 0$，为 $\frac{0}{0}$ 型。由洛必达法则（或变上限积分求导）：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{1}=f(0)$，极限存在且有限。

左右极限都存在且相等（同为 $f(0)$），仅因 $g(0)$ 无定义而间断，故 $x=0$ 是可去间断点，选 B。