2006 年考研数学（三） 第 8 题

极限里出现 $h^2$（恒非负）→ 换元 $t=h^2\to 0^{+}$，得到的是单侧（右）导数，不能推出左导数。坑：别误判为 $f^{\prime }(0)$ 存在或 $f(0)=1$。

本题考查导数定义与连续性，注意 $h^2\to 0^{+}$ 只逼近右侧。 由 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h^2)}{h^2}=1$ 且分母 $\to 0$，得 $\underset{h\to 0}{\lim }f(h^2)=0$；由 $f$ 在 $0$ 处连续知 $f(0)=0$。

再令 $t=h^2\to 0^{+}$，$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h^2)}{h^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h^2)-f(0)}{h^2-0}=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(t)-f(0)}{t}=f_{+}^{\prime }(0)$，故 $f_{+}^{\prime }(0)=1$ 存在。

因 $h^2$ 恒 $\ge 0$，只能得到右导数信息，故选 C。