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2006 年考研数学（三） 第 7 题

选择题 · 4 分

设函数 具有二阶导数，且 ，， 为自变量 在点 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则（　　）
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.
提示 1写出 与 。
提示 2由 先定出 。
提示 3用带拉格朗日余项的泰勒公式， 使 。
答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

比较 与 → 用泰勒展开 ； 的符号决定谁大。坑：凹（）时 ，正负号还要看 。

解答

本题考查微分 与增量 的大小关系（凹函数）。 ，。

因 ，故 。由泰勒公式 ，其中 ，所以 。

综合得 ，故选 A。（几何上：凹函数曲线在切线上方，割线增量大于切线增量。）

考点：导数与微分的概念、曲线的凹凸性与拐点

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