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2006 年考研数学（三）第 6 题

填空题 · 4 分

设总体

X

的概率密度为

f (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} (- \infty < x < + \infty)

，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为总体

X

的简单随机样本，其样本方差为

S^{2}

，则

E (S^{2}) =

______.

提示 1

记住无论总体分布如何，都有

E (S^{2}) = D (X)

。

提示 2

密度是偶函数

\Rightarrow E (X) = 0

，故

D (X) = E (X^{2})

。

提示 3

E (X^{2})

利用对称性化为

\int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- x} d x = Γ (3) = 2

。

答案与详解

答案 $2$

思路（为什么这么做）

求样本方差期望

E (S^{2})

→ 直接用恒等式

E (S^{2}) = D (X)

，把问题转成求总体方差。坑：拉普拉斯密度是偶函数，

E (X) = 0

；

\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x} d x = Γ (3) = 2

。

解答

本题考查样本方差的重要性质 $E (S^{2}) = D (X)$ 。 因此只需求总体方差

D (X)

。

密度关于

x

为偶函数，

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \cdot \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} d x = 0

；

E (X^{2}) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2} \cdot \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} d x = \int_{0}^{+ \infty} x^{2} e^{- x} d x = Γ (3) = 2! = 2

。

故

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} = 2

，从而

E (S^{2}) = D (X) = 2

。

考点：总体、样本与统计量、方差

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