2006 年考研数学（三） 第 5 题

求 $P\{\max \le a\}$（独立）→ 化为 $\prod P\{X_i\le a\}$；求 $P\{\min \ge a\}$ 则化为 $\prod P\{X_i\ge a\}$。坑：max 用 $\le$、min 用 $\ge$ 才能拆成乘积。

本题考查两独立随机变量最大值的分布。 关键等价：$\{\max \{X,Y\}\le 1\}=\{X\le 1\}\cap \{Y\le 1\}$。

由独立性 $P\{\max \{X,Y\}\le 1\}=P\{X\le 1\}P\{Y\le 1\}$。因 $X,Y\sim U[0,3]$，$P\{X\le 1\}={\int }_0^1\frac{1}{3}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$，同理 $P\{Y\le 1\}=\frac{1}{3}$。

故 $P\{\max \{X,Y\}\le 1\}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$。